BARRETT, William. The illusion of technique: a search for meaning in a technological civilization. 1st ed ed. Garden City, N.Y: Anchor Press, 1978.

Matemáticas, Mecanismo e Criatividade

1. Em 1928, Wittgenstein assistiu em Viena a uma conferência de Brouwer, líder da escola intuicionista, e no ano seguinte retornou a Cambridge, coincidindo esse retorno filosófico com o encontro com um ponto de vista diametralmente oposto ao de Frege e Russell.

2. Precisou de anos de reflexão para se afastar de suas ideias prévias, mas suas concepções finais moveram-se mais na direção intuicionista de Brouwer, mudança sem a qual não teria dado o passo seguinte rumo à filosofia da linguagem comum.

3. Causa surpresa saber que existem escolas rivais em matemática, disciplina supostamente a mais rigorosa e objetiva, evidenciando a exclamação de Poincaré sobre a incompreensão mútua entre matemáticos o quanto até as questões mais objetivas dependem de premissas filosóficas anteriores à técnica.

4. Essas desavenças lembram que as matemáticas fazem parte da vida histórica da humanidade, o que deveria bastar para que pessoas cultas não se inibissem diante de ideias matemáticas simples, como ocorreu com os pais diante dos exames da Nova Matemática.

5. A Nova Matemática, hoje já fora de moda por seu fracasso pedagógico, foi apresentada como mais científica quando na verdade representava apenas uma aventura filosófica ultrapassada, gerando gastos escolares enormes como exemplo grotesco de como a filosofia das matemáticas pode infectar a vida prática.

6. Alguns admiradores de Wittgenstein preferem suprimir seus escritos tardios sobre matemática por desconhecerem Brouwer e os intuicionistas, quando na verdade seus cadernos matemáticos contêm alguns dos pensamentos mais audaciosos que ele tem a oferecer, ainda que fragmentários e inconclusos.

7. Esse pensamento organiza-se em três eixos: a rebelião contra a lógica de Russell, a crítica à axiomatização ou mecanização formalista das matemáticas, e um convencionalismo pragmático extremado que revela a grande fenda ainda não superada pela filosofia matemática.

I ARITMÉTICA COM ADORNOS

8. Russell pretendia reduzir as matemáticas à lógica para dar mais solidez a seus fundamentos, mas as objeções iniciais de Wittgenstein apelam à Farbigkeit, a colorida heterogeneidade das diferentes disciplinas matemáticas, irredutíveis a uma essência lógica comum.

9. Uma demonstração aritmética simples, como a inexistência de um número primo final, já é convincente e perspicua em sua notação própria, sem nada ganhar, e muito a perder em clareza, ao ser traduzida para a lógica.

10. Se a lógica fundamenta as matemáticas, cabe perguntar quem fundamenta a lógica, sendo esta, como se verá, muito menos confiável que a aritmética elementar, o que sugere tratá-la antes como disciplina matemática específica do que como hegemonia sobre as demais.

11. Ao tentar reduzir a afirmação de que dois mais dois é quatro a termos puramente lógicos usando classes de maçãs e bananas, a operação parece simples, abrindo caminho para construir números reais e funções a partir desse primeiro passo.

12. Contudo, ao acrescentar vinte e cinco uvas ao cesto, a conversão lógica revela-se incapaz de escapar da necessidade de contar, mostrando que a afirmação lógica apenas envolve a aritmética numa frágil gaze, produzindo uma aritmética com adornos.

13. Wittgenstein sustenta que não há sentido teórico separado do uso prático, e que a estrutura aritmética é de fato mais básica que a lógica, já que a transformação lógica reproduz todos os elementos aritméticos mais certos adornos próprios.

• os teoremas limitantes, sobretudo o de Gödel, evidenciam essa primazia da aritmética sobre a sintaxe lógica

14. Uma anedota da Segunda Guerra Mundial, sobre um caçador de cabeças que só compreendeu o pagamento de doze pacotes de cigarros ao vê-los pareados fisicamente com as cabeças, ilustra que o simples pareamento de conjuntos não gera a noção de número definido.

15. Povos que nunca desenvolveram sistema numérico levantam a questão de se o número doze existiria independentemente de ser descoberto, revelando que entidades matemáticas não podem existir fisicamente como um continente à espera de Colombo, remetendo à antiga disputa entre platônicos e intuicionistas.

16. Wittgenstein adere à posição intuicionista, mas diferencia-se de Brouwer ao considerar as entidades matemáticas não como conceitos mentais, mas como partes funcionais da rede total de conduta chamada linguagem.

17. Mesmo hoje, matemáticos podem cair num platonismo inconsciente hipnotizados por sua própria linguagem simbólico, sobretudo ao tratar de séries infinitas, ainda que ninguém sustente seriamente que o número doze flutue em existência independente.

18. A redução das matemáticas à lógica pretendia tornar mais seguro o conceito de número através da noção de classe, quando na verdade esta última é mais vaga e incerta, como comprovam as antinomias surgidas logo após a introdução da teoria dos conjuntos.

19. A paradoja do barbeiro que barbeia todos os que não se barbeiam a si mesmos ilustra popularmente a antinomia de Russell, cuja generalização sobre classes comuns e extraordinárias levou o próprio Frege a lamentar que a aritmética se tambaleava, quando na verdade tambaleava apenas a tentativa de logicizá-la.

20. O remédio de Russell, a teoria dos tipos lógicos, funcionou apenas como muleta prática ad hoc, revelando ironicamente que o pragmatismo expulso pela porta principal retornou pela porta dos fundos com força redobrada.

21. Essa solução prática acarreta complicações insuportáveis e não elimina totalmente o fantasma da antinomia, que continua a rondar o sistema sempre que se pergunta com que classes exatamente se está trabalhando.

22. Uma reflexão mais radical sobre a própria classe das coisas que não são xícaras de chá, de limites borrosos, poderia ter feito Russell duvidar da noção mesma de classe, tão incerta se comparada à solidez clara dos números naturais.

23. Por trás dessa pretensão hegemônica da lógica esconde-se o domínio de uma metáfora particular, evidente no comentário de Russell sobre as matemáticas como imensa tautologia evidente para uma mente sobre-humana, metáfora estéril diante da história real e criativa das matemáticas.

24. Além dessa metáfora da tautologia autocontida, existe outra que também enfeitiça o pensamento contemporâneo: a das matemáticas como máquina que fabrica mecanicamente seus resultados.

II MECANIZAÇÃO

25. No século XIX, o impulso axiomatizador representou um passo positivo em direção a maior rigor matemático, exigindo que o pensamento permanecesse estritamente dentro das premissas explicitamente postuladas.

26. Esse impulso, porém, cedeu gradualmente a certo hubris mecanicista, exigindo regras abstraídas de qualquer significado, operáveis mecanicamente, visando produzir uma máquina gigantesca capaz de gerar automaticamente todas as verdades matemáticas, tornando obsoleto o papel criativo do matemático.

27. Essa empresa arrogante trazia suas próprias inseguranças, exigindo coerência dos axiomas para evitar contradições que arruinariam todo o sistema, tornando essa exigência a ordem do dia entre os formalistas.

28. A mera coerência não bastava; os axiomas deveriam também ser completos, capazes de gerar todas as verdades do sistema, e sobretudo, na insistência de Hilbert, produzir resultados automaticamente, sem depender da intuição criativa do matemático.

29. Esses três sonhos sofreram um brusco despertar com a prova de incompletude de Gödel em 1931, seguida pelos estudos de Church, Turing, Tarski e Post sobre indecidibilidade, considerados a maior contribuição lógica do século e responsáveis por tornar impossível a mecanização completa das matemáticas.

30. Gödel demonstrou que mesmo a aritmética elementar é complexa demais para caber num conjunto fixo de axiomas, sempre possuindo mais verdades do que estes podem fornecer, tornando impossível provar sua coerência sem recorrer a meios mais ricos e menos seguros.

31. Complementarmente, Skolem demonstrou que os mesmos axiomas são ao mesmo tempo demasiado magros e demasiado frouxos, comparáveis a um terno que não se ajusta ao corpo, cobrindo sistemas diferentes da aritmética pretendida, como no episódio dos alfaiates de Laputa em Gulliver.

32. Descobertas sobre decidibilidade mostram que apenas sistemas muito pequenos permitem mecanismo automático de solução, bastando uma mínima complexidade adicional para que a busca, o erro e a criação voltem a ser necessários mesmo dentro dos axiomas mais elegantes.

33. Embora alheio a esses desenvolvimentos técnicos posteriores, Wittgenstein declarou seu objetivo de adiantar-se a Gödel, preocupando-se com as coisas mais elementares do trabalho matemático de modo que o resultado da incompletude fosse já esperado.

34. Contrariamente à convenção que opõe lógica fechada e vida aberta, esses novos desenvolvimentos revelam antes uma surpreendente semelhança entre a condição da lógica e a condição humana.

35. Assim como quem teme a liberdade busca refúgio em sistemas de controle total, restringir a lógica a sistemas completos e decidíveis significaria condená-la à monotonia de um jogo sem risco, quando o espírito humano ansia por abertura, indeterminação e aventura.

36. Retomando a frase sartriana sobre a condenação à liberdade, a mecanização matemática fracassou e agora o matemático também está condenado a ser livre, confirmando a observação de E. L. Post sobre o caráter essencialmente criativo do pensamento matemático.

37. Esses teoremas limitantes deveriam antes ser chamados teoremas libertadores, pois demonstram que a criatividade humana sempre excede qualquer mecanismo destinado a contê-la.

38. A indecidibilidade lança nova luz sobre a existência das entidades matemáticas, tornando questionável separá-las das operações humanas de cálculo, como ilustra o exemplo de Wittgenstein sobre a possível sequência …777… na expansão decimal de pi.

39. Nossa imaginação, hipnotizada pela lei do terceiro excluído, tende a supor que essa sequência já existe ou não existe independentemente do cálculo, fantasia que Wittgenstein rejeita mesmo recorrendo à hipótese de uma inteligência divina, pois nem Deus poderia ver como fechada uma expansão infinita e inacabável.

III CONVENCIONALISMO

40. Uma das promessas sedutoras dos axiomatizadores era dispensar a compreensão do significado, bastando manipular símbolos segundo regras, promessa desmentida agora que sabemos inexistirem tais provas de coerência visíveis, exigindo retorno à evidência tradicional.

41. Wittgenstein insiste que a prova deve ser perspicua e transparente, resumindo essa ideia na afirmação de que não há nada por trás da prova, sendo ela mesma o que prova, contrariando o ensino da Nova Matemática como mera contabilidade tediosa.

42. Surge aqui a dificuldade de equilibrar a exigência fenomenológica de clareza evidente com a dimensão pragmática das matemáticas como atividade humana inserida no fluxo da vida, pendendo Wittgenstein fortemente para o extremo pragmático de considerar as matemáticas uma rede de convenções.

43. Ainda que costumemos esquecer o papel das convenções, como o sistema decimal que acelerou o desenvolvimento matemático, os escrúpulos convencionalistas de Wittgenstein parecem excessivos diante da noção de necessidade.

44. Wittgenstein questiona a distinção absoluta entre verdades matemáticas necessárias e verdades empíricas probabilísticas, situando ambas dentro do mesma linguagem comum, o que levanta a pergunta sobre até que ponto podemos escolher alterar as convenções em vez de sermos obrigados por elas.

45. Essa questão não tem solução geral, devendo ser determinada caso a caso, mas mesmo assim o exemplo da multiplicação sete por três igual a vinte e um mostra que Wittgenstein exagera ao sugerir mera convenção arbitrária, já que toda a aritmética elementar está sobredeterminada nessa regra.

46. Não conseguimos sequer imaginar circunstâncias que nos levariam a abandonar essa regra e toda a aritmética elementar, revelando que nossa exigência de necessidade confessa antes os limites de nossa imaginação do que uma verdade absoluta.

47. Segundo Wittgenstein, a necessidade se resume em perguntar quais seriam nossas últimas crenças a abandonar, sendo mais fácil renunciar ao princípio da contradição, questionável diante de estados psicológicos como a ambivalência, do que à aritmética elementar.

48. Isso transforma a validade do princípio da contradição numa afirmação sobre a experiência e o destino de nossa linguagem, mostrando que o lógico e o empírico não estão completamente separados.

49. Embora não plenamente satisfatório quanto ao convencionalismo, o pensamento de Wittgenstein aqui é deliberadamente provocativo, buscando levar uma posição a seus limites, invertendo agora o rigor rígido do Tractatus em favor da flexibilidade e particularidade do jogo de linguagem matemático.

50. Seus exemplos bizarros, como mundos onde réguas se dobram e números escorregam da página, funcionam como estímulo benéfico ao lembrar-nos quanto nossas matemáticas devem ao constante intercâmbio com o mundo físico e à estabilidade de nossos instrumentos e corpos.

51. A história das matemáticas confirma essa relação com a natureza, contrariando o dogma positivista, ao qual o jovem Wittgenstein também contribuiu, de que as matemáticas nada dizem sobre o mundo real, dogma implausível diante da construção de aviões e foguetes.

52. O Wittgenstein tardio corrige esse erro ao situar a proposição matemática dentro do conjunto do discurso e da linguagem total, permitindo que a matemática, como parte funcional desse todo, nos diga muito sobre as coisas do mundo.

53. A chave para o convencionalismo, não plenamente captada pelo próprio Wittgenstein, está em que as convenções adotadas devem funcionar diante da natureza, como demonstra a persistente necessidade prática de medir a diagonal de um quadrado apesar do incômodo dos números irracionais.

54. Diante da divisão entre platônicos e intuicionistas, sugere-se Aristóteles como figura mediadora, situando a mente como produto da natureza e as entidades matemáticas como constructos humanos relacionados ao mundo natural que os cerca, sentido de naturaleza que falta à filosofia de Wittgenstein.

55. Cabe uma palavra final sobre o convencionalismo de Wittgenstein: ao questionar a necessidade lógica das convenções, questiona-se também nossa adesão prática à própria lógica, e talvez a verdade nos chegue justamente de uma área onde a deixamos de lado, como sugerem tanto Tomás de Aquino, ao chamar seus escritos de palha moída após sua visão, quanto Buda, ao recusar responder logicamente às perguntas dos dialéticos bramânicos.

56. Um exemplo mais mundano, a lembrança pessoal de ter sido acusado de ser maldosamente lógico por alguém amado, reforça a lição de que em certas situações vitais convém abandonar a mania pela coerência lógica.

57. É de esperar, com maior razão ainda, que uma civilização altamente tecnificada como a nossa consiga abandonar sua obsessão pelas técnicas, aprendendo assim a viver e amar.

58. Wittgenstein adverte, porém, que absolutizar a lógica implica conviver com o fantasma da incoerência que sempre a ronda, sugerindo, em imagem oracular, conceber a contradição de Russell como uma cabeça de Jano erguida sobre as proposições, olhando em ambas as direções, tornando a lógica mais insegura e interessante do que nunca.